参考资料：

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引言

• 为什么要讲线性代数
• 线性代数在生信方面的应用

一、二元线性方程组与二阶行列式

消元法解二元线性方程组，消去未知数 $x_{2}$

\(\left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} = b_{1},\\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} = b_{2} \end{matrix}\right.\) 当$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0$时

\(x_{1} = \frac{b_{1}a_{22}-a_{12}b_{2}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}, \ x_{2} = \frac{b_{2}a_{11}-a_{21}b_{1}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\) 二行二列的二阶行列式，记作

\[\begin{vmatrix} a_{11} \ \ a_{12}\\ a_{21} \ \ a_{22} \end{vmatrix}\]

• 行列式的元素或元

\[a_{ij}(i = 1,2;j = 1,2)\]

• 对角线法（仅适用于二阶和三阶行列式）

  • 主对角线
  • 副对角线

  二阶行列式是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差。

  

二、三阶行列式

\[\begin{vmatrix} a_{11} \ \ a_{12}\ \ a_{13}\\ a_{21} \ \ a_{22}\ \ a_{23}\\ a_{31} \ \ a_{32}\ \ a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}\]

• 对角线法

例：

\[\begin{vmatrix} 1& 2& -4\\ -2& 2& 1\\ -3& 4& -2 \end{vmatrix}\]

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逆序数

规定各元素之间有一个标准次序（比如从小到大为标准次序），在任一个排列中，当两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做 排列的逆序数。

• 逆序数为奇数的排列叫做奇排列

• 逆序数为偶数的排列叫做偶排列

设n个元素为1至n这n个自然数，规定从小到大为标准次序，假设排列，其中元素 $p_{i}(i=1,2,…,n)$

\[p_{1}p_{2}\cdots p_{n}\]

如果比$p_{i}$ 大的且排在它前面的元素有$t_{i}$个，就说这个$p_{i}$元素逆序数是$t_{i}$，全体元素逆序数之和：

\[t = t_{1} + t_{2} + \cdots + t_{n} = \sum_{t = 1}^{n}t_{i}\]

举例计算：

求32514的逆序数

答案：【5】

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三、n阶行列式

先来看三阶行列式：

\(\begin{vmatrix}a_{11} \ \ a_{12}\ \ a_{13}\\ a_{21} \ \ a_{22}\ \ a_{23}\\a_{31} \ \ a_{32}\ \ a_{33}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}\) 等号右边不管正负号，可以写成 $a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}a_{3p_{3}}$ ，第一个下标（行标）次序为123，第二个下标（列标）次序为 $p_{1}p_{2}p_{3}$

带正号列标排列：123，231，312【都是偶排列】

带负号列标排列：132，213，321【都是奇排列】

经过一番操作，t是列标排列的逆序数，三阶行列式可以写成：

\[\begin{vmatrix} a_{11} \ \ a_{12}\ \ a_{13}\\ a_{21} \ \ a_{22}\ \ a_{23}\\ a_{31} \ \ a_{32}\ \ a_{33} \end{vmatrix}=\sum (-1)^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}a_{3p_{3}}\]

• 定义 推广到n阶行列式

\[\sum (-1)^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}\]

记作：

\[D = \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn} \end{vmatrix}\]

• 对角行列式

证明n阶行列式

\(\begin{vmatrix} \lambda _{1} & & & & \\ & &\lambda _{2} & \\ & & &\ddots & \\ & & & &\lambda _{n} \end{vmatrix}= \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\) 其中没有写出来的元素都是0，左端称为对角行列式

• 上下三角形行列式

  主对角线以下（上）的元素都为0的行列式叫做上（下）三角形行列式，它的值与对角行列式一样

证明以下行列式

\[D=\begin{vmatrix} a_{11}& & & 0& \\ a_{21}&a_{22}& & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & & \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots &a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\]

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对换

定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性

先证相邻对换：

原排列如下

\(a_{1}...a_{l}abb_{1}...b_{m}\) 对换ab

\(a_{1}...a_{l}bab_{1}...b_{m}\) 如果a<b，a的逆序数增加1，b的逆序数不变的，如果a>b，b的逆序数减少1，a的逆序数不变，因此奇偶性发生了改变。

再证任意对换：

设排列$a_{1}…a_{l}ab_{1}…b_{m}bc_{1}…c_{n}$，讲a和b进行对换，先做m次相邻对换变成，$a_{1}…a_{l}abb_{1}…b_{m}c_{1}…c_{n}$，b移动到a后，再做m+1次对换变成，$a_{1}…a_{l}bb_{1}…b_{m}ac_{1}…c_{n}$，完成a和b的对换，总共做了2m+1次相邻变换，所以变换前后两个排列的奇偶性相反。

定理2 n阶行列式也可定义为

其中t为行标排列 $p_{1}p_{2}…p_{n}$ 的逆序数

\[D=\sum (-1)^{t}a_{p_{1}1}a_{p_{2}2}\cdots a_{p_{n}n}\]

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四、行列式的性质

• 转置行列式

  $D^{T}$称为行列式$D$的转置行列式

  \[D=\begin{vmatrix} a_{11}& a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}\]

\[D^{T}=\begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}\]

性质1 行列式与它的转置行列式相等

证明：

记D的转置行列式为：

\[D^{T}=\begin{vmatrix} b_{11}& b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{n1}& b_{n2}& \cdots & b_{nn} \end{vmatrix}\]

$b_{ji}=a_{ij}(i,j = 1,2,…,n)$，按照定义：

\(D^{T}=\sum (-1)^{t}b_{1p_{1}}b_{2p_{2}}\cdots b_{np_{n}}=\sum (-1)^{t}a_{p_{1}1}a_{p_{2}2}\cdots a_{p_{n}n}\) 由定理2，$D=\sum (-1)^{t}a_{p_{1}1}a_{p_{2}2}\cdots a_{p_{n}n}$，因此$D=D^{T}$

通过这个性质可知，行列式的行和列地位相当，凡是行具有的性质，列也一样，反过来说也成立。

性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号

证明：

假设行列式$D_{1}$是由原行列式交换i，j两行得到的

\(D_{1}=\begin{vmatrix} b_{11}& b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{n1}& b_{n2}& \cdots & b_{nn} \end{vmatrix}\) 当$k\neq i,j$时，$ b_{kp} = a_{kp}$，当$k=i,j$时，$ b_{ip} = a_{jp}$，$b_{jp} = a_{ip}$，于是

\[D_{1}=\sum (-1)^{t}b_{1p_{1}}...b_{ip_{i}}...b_{jp_{j}}...b_{np_{n}}\] \[=\sum (-1)^{t}a_{1p_{1}}...a_{jp_{i}}...a_{ip_{j}}...a_{np_{n}}\] \[=\sum (-1)^{t}a_{1p_{1}}...a_{ip_{j}}...a_{jp_{i}}...a_{np_{n}}\]

$1…i…j…n$为自然排列，t为$p_{1}…p_{i}…p_{j}…p_{n}$的逆序数，设$p_{1}…p_{j}…p_{i}…p_{n}$的逆序数为$t_{1}$，故$(-1)^{t} = -(-1)^{t_{1}}$

\[D_{1}=-\sum (-1)^{t}b_{1p_{1}}...b_{ip_{i}}...b_{jp_{j}}...b_{np_{n}}=-D\]

推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于0

因为这两行互换的结果是$D=-D$，所以$D=0$

性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数$k$，等于用数$k$乘以此行列式

推论 行列式的某一行（列）中所有的元素的公因子可以提到行列式记号的外面

性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零

性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和：

\[D = \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &(a_{1i}+a{}'_{1i}) &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &(a_{2i}+a{}'_{2i}) &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &(a_{ni}+a{}'_{ni}) &a_{nn} \end{vmatrix}\]

则$D$等于下列两个行列式之和

\[D = \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1i} &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2i} &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{ni} &a_{nn} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a{}'_{1i} &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a{}'_{2i} &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a{}'_{ni} &a_{nn} \end{vmatrix}\]

性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变

尝试计算一下:

\[\begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 & 2\\ -1 & 1& 3& -4\\ 2 & 0& 1& -1\\ 1 & -5& 3& -3 \end{vmatrix}\]

答案：【40】